Paradoja de Aquiles y la Tortuga

Vamos a tratar la paradoja de Aquiles y la tortuga. Todo el mundo conoce a Aquiles, aparte de que siempre va detrás de nosotros en nuestros talones, el talón de Aquiles, porque era el corredor más rápido del mundo. Se enfrenta a una tortuga.

Esta paradoja se la debemos a Zenón de Elea que era un filósofo presocrático del siglo V a.c., cuyos trabajos sólo nos han llegado a través de sus paradojas.

Parece que realizó más de 40 aunque sólo algunas han llegado hasta nosotros.

Desarrolló principalmente dos temas, problemas que afectan al movimiento, espacio y tiempo, el Universo y su indivisibilidad y otra parte más metafísica como la Unidad del Ser, fue discípulo de Parmínedes.

Con Aquiles y la Tortuga, que es una paradoja más física que metafísica, Zenón fue el primero en plantear los problemas del pensamiento infinitesimal.

• Enunciado:

Aquiles el corredor más rápido de toda la antigua Grecia, reta a una tortuga a alcanzarla dejándole una considerable distancia de ventaja.

• Postulado de Zenón:

Bien pues Zenón dice, que es imposible que un corredor como Aquiles de rápido pueda alcanzar a la Tortuga, a pesar de su lentitud, si le deja una ventaja inicial.

• ¿Por qué es una Paradoja?:

Parece que es una perogrullada y que su postulado es falso. Luego en lugar de paradoja sería una falacia.

Pero, ¿que hizo que durante más de 21 siglos fuera considerada una paradoja?

Pues el razonamiento de Zenón, es tan impecable que demuestra su postulado con una firmeza que nadie fue capaz de refutarlo, a pesar de que todos vemos que un corredor rápido acaba alcanzando a uno lento.

Es una paradoja porque es evidente, que la observación nos dice una cosa, un corredor rápido acaba alcanzando a uno lento. Y el razonamiento de Zenón parece impecable y también parece cierto.

Luego dos verdades una observable y otra mediante razonamiento dicen cosas contrapuestas: Paradoja.

¿Pero en que falla la demostración de Zenón? ¿Podemos refutar su razonamiento?

Hasta el siglo XVII, con matemáticas más complejas no se resolvió satisfactoriamente.

• Razonamiento:

El razonamiento es el siguiente:

Supongamos que la distancia entre Aquiles y la Tortuga es de 1 Km, para hacerlo más claro supongamos que la tortuga es la mitad de lenta que Aquiles.

Bueno quizás la tortuga ésta, es demasiado rápida, pero el razonamiento es igual si es 10 veces más lenta o 100, con 2 simplificamos el razonamiento pero podéis seguirlo igual.

Si os parece podemos cambiar a la paradoja a la de A.A.Magallanes o Un Punto Azul:

Supongamos que son dos naves espaciales, que la primera nave nodriza sale de la tierra y de repente “anda los Donuts”, llama a tierra urgentemente y le dicen que le envían una nave más rápida con los desayunos.

Pero mientras hacen los donuts para que sean del día y preparan la nave de avituallamiento, la primera se encuentra a 1 año luz de la tierra.

La nave nodriza es la mitad de lenta que la nave de avituallamiento.

Mientras la segunda nave recorre los 1 año luz que le separa, la primera habrá recorrido la mitad ½ de año-luz .

Cuando la segunda nave recorra los ½ de año luz que las separa, la primera habrá recorrido 1/4, y así sucesivamente hasta el infinito y mucho más que diría Buss Lightyear, dándose el caso que siempre ocurre que mientras la segunda recorre la distancia que les separa, la primera recorre una nueva distancia que será la mitad de la anterior, luego nunca la alcanza, o la alcanzará en el infinito.

• Segunda paradoja:

Zenón, dijo más, con el mismo enunciado, Aquiles deja una distancia a la tortuga.

Zenón postula que Aquiles no sólo no la alcanza, sino que ni siquiera puede salir de la Salida: El movimiento no existe.

El razonamiento es similar, para hacer 1 km, primero tiene que hacer medio, y así hasta el infinito.

Nunca sabe Aquiles que paso dar, pues para dar un paso, siempre tendrá primero que recorrer la mitad.

Con esto Zenón decía que el movimiento No existe, es una mera visión óptica.

• Historia.

En esta paradoja, que no se resolvió satisfactoriamente hasta el siglo XVII, muchos matemáticos intentaron refutar el razonamiento de Zenón y realizaron muchas objeciones, pero sin demostrarlo.

Zenón, decía que nuestra vista nos engañaba. De hecho el Sol, sale por el este y se oculta por el oeste, pero es aparente. Es la Tierra la que gira alrededor del Sol. Un lápiz en un vaso de agua parece que se dobla, la vista nos engaña.

Se resolvió cuando Leibnitz, filósofo y matemático, descubrió o inventó el Cálculo infinitesimal, las derivadas e integrales, los límites y las series infinitas.

Por cierto, Newton era contemporáneo de Leibnitz, y como no podía ser de otra forma, termino enfrentado a él. Lo acuso de plagio, ya que él había inventado primero el cálculo.

Bueno, en realidad Newton había desarrollado antes el Cálculo, y exponía sus avances en una Sociedad Matemática Inglesa semi-secreta, pero Leibnitz lo publicó primero. Newton acuso a Leibnitz de robarle la idea, informado por alguno de sus colegas y de cambiar la nomenclatura para editarla.

NO se puedo demostrar, y Leibnitz se llevó el mérito, aunque se reconocen a los dos como padres de Cálculo Infinitesimal.

Hoy día se cree que los dos matemáticos llegaron a las mismas conclusiones por caminos separados, Leibnitz empezó por la integración y newton por la diferenciación, la nomenclatura de Leibnitz se impuso al ser más simple, la S alargada de las integrales y la d minúscula de los diferenciales, el apostrofe o comilla para las derivadas en lugar de los puntitos de Newton.

Newton publicó más tarde su cálculo de fluxiones.

Leibnitz inventó entre muchas cosas el sistema binario, básico para el funcionamiento de los modernos ordenadores.

• Solución:

Lo que plantea Zenón es si la suma de infinitas distancias da otra distancia o por el contrario se va al infinito.

Por ejemplo si sumamos los números naturales – son los números de contar,  la serie 1,2,3,4,5,… está claro que su suma es infinito.

Parece obvio, y si preguntamos a la gente en la calle así lo vemos, una suma de infinitas cosas positivas acaba siendo infinito. Así pensaban en la antigüedad.

No obstante el Cálculo demuestra que existen series numéricas cuya suma es un número finito. Se llaman series convergentes y convergen a un número que es su límite.

En el caso de Zenón la serie sería inicialmente

es una serie que llamamos geométricas de razón r= ½ cuyo primer término es 1, Leibnitz demostró que la suma de los infinitos términos de una serie geométrica cuya razón es en valor absoluto menor de 1, la suma de sus infinitos términos converge y calculo cuál es su suma, es:

Luego Aquiles o la nave alcanzará la tortuga o a la nodriza a los 2 Km o a los 2 años luz.

La segunda se resuelve de forma parecida, lo dejo como ejercicio. Si no lo podéis resolver, mandar un correo a contacto@aamagallanes.es

• Anécdotas:

He dicho que nadie resolvió satisfactoriamente el problema de Zenón hasta el siglo XVII.

No obstante, uno de los mejores matemáticos de todos los tiempos, bueno y arquitecto, ingeniero, físico, químico, ¿Sabéis de quien hablo?: Eureka, Arquímides utilizaba un método heurístico, que se parecía al cálculo infinitesimal.

No se sabe si intento resolver el problema. Lo utilizó para calcular el número , ese número mágico, un día hablaremos de la magia del número  y de los pitagóricos.

Fue el primer humano, sin medios tecnológicos o con las nuevas herramientas matemáticas que calculo con el mayor número de cifras decimales.

Por último, mi poeta favorito, Antonio Machado, no mirarme raro que no voy a cambiarme a la poesía.

Antonio es un poeta andaluz, el de

“Caminante No hay camino se hace camino al andar”

mucha gente cree que es una canción de Serrat, pues NO Joan Manuel sólo puso la música.

Machado fue además filósofo, aunque poco conocido.

“Bueno es saber que los vasos nos sirven para beber

lo malo es que no sabemos para que sirve la Sed”

Escribió un libro filosófico “Juan de Mairena”, sobre un personaje, ficticio o real, profesor que daba clases, en la Escuela Popular de Sabiduría Superior, de Retorica y Sofística y que propone un día a sus alumnos o discípulos, que mediten sobre la Paradoja de Aquiles.

Leedlo porque no tiene desperdicio.

Los alumnos, no sólo defienden a Zenón, por su impecable razonamiento a pesar de la demostración matemática, sino que además con pequeños cambios en su postulado, logran poner a Zenón en todo lo alto, y esta vez no como paradoja, sino como Verdad Irrefutable.

Este artículo se emitió en Un Punto Azul nº 43 el día 20 de Septiembre 2014